Almost Everywhere Convergence

定义 Definition

almost everywhere convergence（几乎处处收敛）：在测度论中，指一列函数 \(f_n\) 在除去一个测度为 0 的点集之外的所有点上，都逐点收敛到函数 \(f\)。
常写作：\(f_n \to f\) **a.e.**（almost everywhere）。在概率论里与 almost surely（几乎必然）密切相关。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈɔːlmoʊst ˈɛvriˌwɛr kənˈvɝːdʒəns/

例句 Examples

Almost everywhere convergence allows a function sequence to fail on a negligible set.
几乎处处收敛允许函数列在一个“可忽略”（测度为零）的集合上不收敛。

In Lebesgue integration, almost everywhere convergence often combines with the dominated convergence theorem to justify exchanging limits and integrals.
在勒贝格积分中，几乎处处收敛常与支配收敛定理一起使用，用来证明可以交换极限与积分。

词源 Etymology

almost everywhere 直译是“几乎到处”，在数学语境里特指“除了一个测度为 0 的集合以外的所有地方”；convergence 来自拉丁语 convergere（“汇聚、趋同”），在分析学中指“趋向某个极限”。合起来就形成了“除零测集外的逐点收敛”这一标准术语。

相关词 Related Words

• Almost Surely
• Pointwise Convergence
• Uniform Convergence
• Convergence In Measure
• Dominated Convergence Theorem
• Egorov's Theorem
• Null Set
• Lebesgue Measure

文学与经典著作 Literary Works

• Real and Complex Analysis — Walter Rudin（讨论 a.e. 收敛与积分、收敛定理等）
• Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications — Gerald B. Folland（以测度论框架系统使用该术语）
• Probability and Measure — Patrick Billingsley（与 “almost surely” 的联系、极限定理背景）
• Real Analysis — H. L. Royden & P. M. Fitzpatrick（基础测度论与 a.e. 收敛的常见出处）